ПРИЛОЖЕНИЕ 1

            Рассмотрим кеплеровское движение частицы единичной массы (μ=1) в системе отсчёта, вращающейся вокруг центрального тела, массы M с угловой скоростью ω. Энергия частицы состоит из трёх слагаемых: гравитационной энергии в поле тела М, П_гр = -GM/r, энергии центробежной силы,    и кинетической энергии,   (сила Кориолиса, направленная перпендикулярно к скорости частицы , не вносит вклада в энергию). Если плоскость и направление вращения системы отсчёта совпадают с плоскостью и направлением обращения частицы, то радиальные составляющие скорости частицы в инерциальной и вращающейся системах одинаковы u_r = V_r, а составляющие, перпендикулярные радиус-вектору ,

связаны зависимостью u_φ = V_φ – ωr. Выражая компоненты скорости u через компоненты V,
получаем и, следовательно:

                        - энергия частицы в инерциальной системе (а – длина большой оси эллиптической орбиты),  L = ωV_φr – момент импульса в инерциальной системе отсчёта. Таким образом получаем связь между параметрами в инерциальной и вращающейся системах

 = Е – ωL

            При движении частицы в системе двух тел – центрального, массы М, и спутника, массы m (m<<M), частица движется по эллиптической орбите с медленно меняющимися (за период обращения) параметрами. Энергия частицы (состоящая из энергий гравитации в поле тел M, m  и кинетической энергии) не является в этом случае постоянной величиной. Если спутник вращается по круговой орбите, то энергия частицы постоянна во вращающейся системе с неподвижными M и m. Пренебрегая энергией гравитации в поле спутника, малой, если частица не приближается к телу m слишком близко, считаем выражение для энергии
= Е – ωL верным и в этом случае, но Е и L уже не постоянные, а медленно изменяющиеся величины.

            В инерциальной системе скорость эллиптических частиц в «афелии» меньше скорости сталкивающихся с ними круговых частиц, а в «перигелии» - больше. Следовательно, в «афелии» эллиптические частицы приобретают энергию, а в «перигелии» - теряют её. В системе с неподвижными телами M и m для внутренних частиц, траектории которых заключены внутри орбиты спутника m, верно то же самое. Внешние же частицы в инерциальной системе обращаются в противоположном направлении, и для них верно обратное – они приобретают энергию в «перигелии» и теряют её в «афелии». Обобщая оба случая (внешних и внутренних частиц), можно сказать, что при ударах вблизи орбиты спутника m  энергия эллиптических (в том числе резонансных) частиц увеличивается, а при ударах в удалённой от орбиты спутника области – уменьшается.

            При столкновении резонансной частицы с круговой состояние резонанса нарушается. Сила гравитации спутника  корректирует резонансную орбиту так, чтобы сохранить неизменным период обращения, а следовательно, однозначно связанные с ним длину большой оси – a и энергию, в инерциальной системе E . Из соотношения  = Е – ωL следует, что при увеличении энергии в неинерциальной системе  уменьшается момент импульса L  (в инерциальной системе), а следовательно, увеличивается эксцентриситет резонансной орбиты. Если плотность круговых частиц растёт при приближении к орбите тела m, удары вблизи неё происходят чаще и резонансные орбиты не округляются, а вытягиваются.

            Так как через l оборотов резонансной частицы типа k/l по эллипсу её положение относительно спутника повторяется, резонансная траектория в неинерциальной системе напоминает зубчатое колесо с l зубцами. На рисунке изображена резонансная траектория типа 4/5 . Эта траектория внутренней частицы 4/5, «афелий» которой доходит до орбиты тела m, образует вблизи орбиты спутника петли с обратным движением, в которых движение резонансных и круговых частиц встречное. Следовательно, эта частица 4/5 с большим значением эксцентриситета теряет энергию при любых неупругих ударах. В системе двух тел М и m с круговым движением спутника рост эксцентриситета резонансной орбиты, обусловленный неупругими взаимодействиями, ограничен, и частица не приближается к орбите спутника m слишком близко. Однако при эллиптическом движении тела m и при упругих кулоновских взаимодействиях частиц возможен рост эксцентриситета резонансных орбит и до орбиты спутника.

            Помимо «стандартной» ситуации возможны случаи, когда какая-либо составляющая (или обе) движутся в обратном направлении (противоположном спутнику).

а) Если резонансная частица и спутник обращаются в прямом, а круговые в обратном направлении, удары ниже орбиты уменьшают, а выше – увеличивают энергию резонансной частицы. Орбиты внутренних частиц округляются, а внешних – вытягиваются.

б) Если резонансные частицы обращаются в обратном, а круговые – в прямом направлениях, энергия резонансных частиц уменьшается. Но у обратно вращающихся резонансных частиц момент импульса L<0. Уменьшение энергии означает для этих частиц уменьшение модуля момента импульса, то есть резонансные орбиты вытягиваются.